Екстремум на функция на няколко променливи онлайн

Предишен ◈ Следващото
Правилник за опции за въвеждане:
  1. Всички променливи varazhayutsya през X, Y
  2. Всички математически операции, изразени по отношение на обичайните символи (+, -, *, /, ^). Например, Х2 + XY, написан като х ^ 2 + х * у.
  3. Квадратен корен: SQRT. Например, SQRT (х ^ 2 + 1/2 * ш ^ 2), arcsin (х) = ASIN (х). д х = ехр (х)

За функцията на три променливи могат да бъдат използвани Hessian матрица.







Алгоритъм изследване на функция на две променливи на екстремум

Функция Z = F (х, у) има максимална в точката M0 (x0; y0), ако е (x0; y0)> е (х; у) за всички точки (х; у), достатъчно близки до точката (x0; y0) и се различава от него. Функция Z = F (х, у) има минимален в точката на M0 (x0; y0), ако е (x0; y0) DZ / DX и DZ / Dy.
2. Решете системата уравнения:


и по този начин са критичните точки.
3. Виж втори ред частични производни:


4. изчисляват стойностите на втори ред частично открити във всяка от критичните точки в претенция 2 М (x0; y0).








5. прави извода, че Extrema:
а) Ако АС - B 2> 0 и А <0. то в точке M имеется максимум;
б) ако АС - B 2> 0 и А> 0. след това в точка М има минимум;
в) ако АС - B 2 <0, то экстремума нет;
г) ако АС - B 2 = 0, тогава въпросът дали екстремум все още е отворен;

Пример. Виж екстремум на F функция (х, у) = х 3 + 2 + XY х 2 + Y 2 и да се определи критерий Силвестър им вид.
Решение.
1. Намираме първите частични производни.


2. Решете системата уравнения.
3x 2 + 2 х + у = 2 0
2xy + 2у = 0
получаваме:
а) От първото уравнение изразяваме х и заместител на второто уравнение:
х = -1
2 у + 1 = 0
Тази система от уравнения няма решение.
б) От първото уравнение изразяваме у и заместител на второто уравнение:
"/>

или
"/>

или
Когато Х1 = -2/3; х2 = 0; x3 = -2/3; Х4 = 0
Тези стойности са заместени в експресионния х за у. Получават: y1 = 0; Y2 = 0; Y3 = 0; Y4 = 0
Броят на критичните точки е 2: М1 (-2/3 0), М2 (0, 0)
3. Нека на втори ред частните производни.



4. изчисли стойността на втория ред частични производни на критичните точки M (x0; y0).
Изчисляват се стойностите за точката M1 (-2/3 0)



AC - B 2 = 4 = 2 -4/3> 0 и А> 0. след M2 на (0, 0) е минимум Z (0, 0) = 0
Заключение. В точка М2 (0; 0) е минимум Z (0, 0) = 0







Предишен ◈ Следващото