Проблемът с Коши

Решение на проблема Коши е функция дефинирана в интервала , съдържаща х 0>. който е разтвор на уравнение (1) и отговаря на първоначалното състояние (2).

Определение. Разтвор на неразделна уравнение: у (х) = у 0 + ∫ х 0 х е D е (а у (и).). (3) + \ Int _> ^ е (а, у (и)) DS, >>

Лема. Ф е функция у = (х) е решение на проблема Cauchy ако и само ако е разтвор на неразделна уравнение.

∫ х 0 XD ф DS (и) DX = ∫ х 0 XF (и φ (а).) Ds ⇒ φ (х) - φ (х 0) = ∫ х 0 XF (с. Φ (и)) Ds ⇒ φ (х) = у 0 + ∫ х 0 XF (ите. φ (и)) и г. ∀ х ∈> ^> (S) DX = \ Int \ граници _> ^ е (S \ Фи (и)) DS \ стрелкаНадясно \ Фи (х) - \ Фи (х _) = \ Int \ граници _> ^ е (S \ Фи (и)) DS \ стрелкаНадясно \ Фи (х) = у _ + \ INT \ граници _> ^ е (S \ Фи (и)) DS, \ forall х \ в >

Сега нека у = φ (X) - решението на интегралната уравнението, показват, че това е решение на разл. уравнение и отговаря на първоначалното състояние. За да направи това, първият заместител в (3) х = 0 х>. у (х 0) = у 0 + ∫ х 0 х 0 е (а у (и) DS = Y 0 -. първоначалното състояние) = у _ + \ INT \ граници _> ^> F (S, Y (и) DS = у _ >>

Разнообразяване на (3) до получаване на (1)

Определение. Последователността на функции <φ n> п = 1 ∞ \> _ ^> е равномерно ограничена ако ∃ C> 0. | φ п (х) |

Лема Асколи Arzela. теорема Пеано Редактиране

Лема Асколи Arzela. От всяка равномерно ограничена и непрекъсната последователност функционира опа <φ n> п = 1 ∞ \> _ ^> може да бъде избран равномерно конвергентна последователност φ п к ⇉ φ (х). (Φ ∈ С [а. В])> \ rightrightarrows \ varphi (х), (\ varphi \ в С [а, Ь])>

Доказателство. нека <φ n> п = 1 ∞ \> _ ^> - равномерно ограничена и equicontinuous. ε 2 = 1 C = N >> - разделяне на правоъгълника в вертикални ивици с височина ε 1> 1 и дължина з <δ ( ε 1 ) <\delta (\varepsilon _)>

График всяка от функциите ф н> може да бъде не повече от два съседни двойки височина правоъгълници епсилон 1>. Всяка вертикална лента има двойка правоъгълници, който е безкраен набор от графики, тъй като много правоъгълници разбира се, и последователности за неопределено време. Избираме последователност от функции в тези правоъгълници <φ 1 n> п = 1 ∞ \> _ ^>

⏟ φ φ 11 от 12 ... φ 1 п φ 21 φ 22 ⏟ ... φ 2 п ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ φ р φ р 1 2 ... φ р п ⏟ \ underbrace> \ Varphi _ \ точки \ Varphi _ _ \\\ varphi \ underbrace> \ точки \ Varphi _ \\\ vdots \ vdots \ ddots \ Vdots \\\ varphi _ \ _ \ varphi точки \ Underbrace> \\\ край >>

Peano теорема. Нека е да бъдат определени и непрекъснато в G и нека точка (х 0. Y 0) ∈ G, у _) \ в G>

Тогава съществува решение на проблема Cauchy дефинирани по някакъв интервал [х 0 - △. х 0 + △] - \ vartriangle, х _ + \ vartriangle]>

Функцията е непрекъсната върху затворено множество, но лека ограничена на него: ∃ L = съм х ∈ S | (х у). е (х у.) | <∞ |f(x,y)|<\infty> . Определи някои N и разгледа дял на интервала: х и х = 0 + I * з п. з п = △ N = x_ + I * h_, ч _ = >>. Чертеж Ойлер пробит (х 0. Y 0), у _)>. такава, че ъгловият коефициент е е (х т. у,), у _)> до (х т. х и + 1), х _)>. Полилинията не може да излиза извън рамките на △. тъй като тя се измъкна от ъгъла на наклон трябва да е по-голяма от L, и това е невъзможно. ние се получи последователност <φ N ( x )> N = 1 ∞ (х) \> _ ^>.

На [х й. XJ + 1] φ N (х) = φ N (XJ) + е (х й φ N (XJ).) (х - XJ), х _] \ varphi _ (х) = \ varphi _ (х _) + F (х _ \ varphi _ (х _)) (х-х _)>

Последователността е ограничена: у 0 - △ L ≤ φ N (х) ≤ у 0 + △ L ∀ х ∈ [х 0. х 0 + △] ∀ N ≥ 1 - \ vartriangle L \ екв \ varphi _ (х) \ екв у _ + \ vartriangle L \ forall х \ в [x_, х _ + \ vartriangle] \ forall N \ GEQ 1> (1) Ние също така предвид, че последователността на равномерно непрекъсната: ∀ ε> 0 ∃ δ (ε) = ε L ∀ х ". х "∈ [х 0. х 0 + △] | х "- х" | <δ ( ε )>\ Forall X ", X '" \ в [x_, х _ + \ vartriangle] | X'-х' '|<\delta (\varepsilon )> Следователно Ascoli Лема Arzela ∃ φ N к (х) ⇉ φ (х)> (х) \ rightrightarrows \ varphi (х)> за [х 0. х 0 + △] х _ + \ vartriangle]>. тук МФ - решаването на проблема Коши.

Ние определи точка х ∈ [х 0. х 0 + △] х _ + \ vartriangle]> Ако започне да се променя Н. има моя снимка subsegments, но всеки път, когато х ще принадлежи на някакъв интервал [х аз. х I + 1]. I = I N к, х _]. I = I _ >>

Първият термин в дължината на сума на сегмента клони към нула ще се стреми да интеграл: у 0 + Σ J = 1 I + 1, е (. Х й φ N к (х й)) Н N к. J = ∫ х 0 XF (ите. φ (и)) DS + \ сума \ граници _ ^ е (х _ \ varphi _> (х _)) h_, J> = \ Int \ граници _> ^ е (S, \ varphi (и)) DS>.

| О Т | могат да бъдат оценени | Σ J = 0 и [е (х й φ N к (х й).) - е (. Х й φ (х й))] Н N к. к | ≤ ε △ ^ [е (х _ \ varphi _> (х _)) - е (х _ \ varphi (х _))] h_, J> | \ екв \ varepsilon \ vartriangle> когато п к> N 0 (ε) > N _ (\ varepsilon)>. Това предполага, че О Т → 0, когато к → ∞> к \ стрелкаНадясно \ infty>

Сега е ред peredlu когато к → ∞. φ (х) = φ 0 + ∫ х 0 х е (S. φ (и)) г S + \ Int \ граници _> ^ е (S \ Фи (и)) DS>. ravnenstvo е вярно за ∀ х ∈ [х 0. х 0 + △] х _ + \ vartriangle]>

Уникалност на решаването на проблема Коши Редактиране

Определение. Функция е отговаря на местно в състояние G Lipschitz в променливата у, ако ∀ (х 0. Y 0) ∈ G 1 ∃, у _) \ в G_ \ съществува> съседство U (х 0. Y 0), у _)> и константата L = L (х 0. Y 0)> 0. | е (х у ".) - е | (х у"). ≤ L | у '- у "| ∀ (х г. ") (X Y".) ∈ U (х 0. Y 0), у _)> 0: | е (х, у) - е (х, у ') | \ екв L | Y'-у '' | \ forall (X, Y) (X, Y '') \ в U (x_, у _)>

Теорема. Ако функцията F удовлетворява местната състоянието Липшиц, тогава единственото решение на проблема Коши

Непразни набор от точки и ограничено. φ 1 (β) = φ 2 (β) (\ бета) = \ varphi _ (\ бета)>

Тъй φ непрекъснато Supremum - максимална средна φ 1 (β) = φ 2 (β) = γ (\ бета) = \ varphi _ (\ бета) = \ у> и φ 1 (х)> φ 2 (х) х *] (х)> \ varphi _ (х) \ forall х \ в (\ бета ∀ х ∈ (β., х ^]><>