Аритметична прогресия, лампа - онлайн урок, който всеки може да се подобри

Последователности, които са дискутирани в този раздел имат интересни свойства: това е възможно да се изчисли следващия елемент от последователността, знаейки предходния елемент, съгласно формула. Ако използваме свойствата на тези последователности, много от математика, физика и икономика са значително опростени.

Нека започнем с аритметична прогресия.

Какво е аритметична прогресия?

Аритметика прогресия - цифрова последователност образуват 1. 1 + г. 1 + 2 г. 1 + п г. a_1, a_1 + г, a_1 + 2d. a_1 + ри. 1а. 1 + г. 1 + 2 г. 1 + п г.
т.е. последователност от числа, всяка от които, като се започне от второто, получени от предходния добавяне към нея постоянен брой DDD (разлика аритметична прогресия): с = цяло - 1 + г a_n = a_ + га п = A N - 1 + г.

Крайният сегмент от последователност, наречена ограничен прогресия аритметика. или просто аритметична прогресия.

За всяка двойка от последователни отношение на ак последователности a_k К и К + 1 a_ на к + 1, разликата между тях е равно на същия номер: AK + 1 - ак = г a_-a_k = га к + 1 - К = г.

Например, последователност на 4 4 4. 6 6 6. 8 8 8. 1 0 10 1 0. 1 2 12 1 2 е аритметична прогресия с разлика от 2 февруари 2. Това увеличаване на аритметична прогресия.

Последователност 3 3 3. 2 2 2. 1 1 1. 0 0 0. - 1 1 - 1 е аритметична прогресия с разлика от - 1 1 - 1. Това е намаляване на аритметична прогресия.

Това е аритметична прогресия следната последователност: 1 1 1 - 1 1 - 1 2 2 2 - 2 -2 - 2 3 3 3 - 3 -3 - 3.

Как да намерите на произволен срок прогресия?

Ако знаем разликата между първия мандат на аритметична прогресия, а след това ние можем лесно да намерите всеки друг член на тази прогресия. В действителност, 2 = 1 + г a_2 = a_1 + D 2 = 1 + г. 3 = а 2 + г = а + 1 2 г a_3 = a_2 + D = + a_1 2d 3 = а 2 + г = а + 1 2 г. 4 = 3 = а + г + 1 г 3 = a_4 a_3 г + a_1 + 3d = 4 = 3 = а + г + 1 г 3 и т.н. к к к-ти мандат можем да намерим по следната формула:

К = 1 + (к - 1) г. a_k = a_1 + (к-1) г. К = 1 + (к - 1) г.

Откриване 1 0 0 1 1001 1 0 0 1-ия срок на аритметична прогресия 7 7 7. 1 7 17 1 7. 2 7 27 2 7 ..

Ако ние не знаем 1 1 1-то, и, да речем, 1 0 10 1 0-ти мандат на прогресията, ние също може да се намери някой друг член, ако знаем разликата. Например, ако искаме да намерим 1-ви Август 18 1 8-ми мандат, можем да използваме факта, че 1 8 1 0 = а + 8 г a_ = a_ + 8г 1 8 1 0 = по- 8 + г.

Следната формула свързва всеки два членове на прогресията:

а п = К + (п - к) г. a_n = a_k + (п-к) г. а п = К + (п - к) г.

Намерете 2 2 2-ия срок от прогресия, ако е известно, че 1 Февруари, 12 1 2-ия срок е 05 февруари 25 г. 5 февруари разлика, равна на 2 2 2.

Как да намерите разликата в аритметична прогресия?

Използването на горната формула, ние можем лесно да се намери разликата в прогресия, знаейки, всеки двама от своите членове. В действителност, формулата на п = К + (п - к) г a_n = a_k + (п-к) Г п = К + (п - к) г следва тази формула:

г = а п - а к п - к. г = \ Frac. г = N - к а п - а к.

А просто задача вече е готов до прогресия (за това първо изложение за запис на проблема под формата на аритметична прогресия формула):

Хърмаяни беше първия ден в Хогуортс научих заклинание и се учи всеки ден в продължение на няколко магии повече от предишния ден. На 8 8 8-ия ден тя научила 1 5 15 1 5 магии. Колко магии повече научава всеки ден?

Не забравяйте, това просто правило:
Ако проблемът не е увеличаване на определена сума за един и същ номер, а след това ние говорим за аритметична прогресия.

Характерно свойство на аритметична прогресия

Да разгледаме някои аритметична прогресия, например: 1 = 2. = 5. 2 3 = 8. = 1 4 1. a_1 = 2, a_2 = 5, a_3 = 8, a_4 = 11. 1 2 = 2. = 5. 3 = 8. = 1 4 1. За всеки п ≥ 2 п \ GE 2 п ≥ 2. (п + 1 ) (п + 1) (п + 1) -ти Терминът прогресия голяма NNN-ти до г = 3, г = 3 и г = 3. NNN член тата (п - 1) (п-1) (п - 1 ) -ти и за г = 3, г = 3, г = 3. Следователно NNN-ия срок е равен на средната аритметична стойност (п - 1) (п-1) (п - 1) -ти и (п + 1) (п + 1 ) (п + 1) тия член.

Лесно е да се провери, че следното твърдение:

Последователността на 1. 2. 3. a_1, a_2, a_3. 1а. 2. 3 а. аритметична прогресия, ако и само ако = цяло - 1 + на + 1 2 a_n = \ Frac + a_> с п = 2 а п - 1 + а п + 1 за всяко н ≥ 2 п \ GE 2 н ≥ 2.

Се извършва и по-общо свойство: един = цяло - К + на + к 2 a_n = \ Frac + a_> с п = 2 а п - к + а п + к , където п> к п \ GT к п> к.

1 1 1-ия срок на аритметична прогресия е равен - 1 8 -18 - 1 и 8. 1 0 1 101 1 0 1-ви е равно на 2 1 8 218 2 1 8. Какво е 5 1 51 05 Януари та термин?

Сума от първите н н н условията на аритметична прогресия

Друг формула, която често е полезно:

Сума от първите п п п условията на аритметична прогресия: S п = 1 + 2 +. A + п = 1 + 2 с п ⋅ п. S_n = a_1 + a_2 +. + A_n = \ Frac \ cdot п. S п = 1 + 2 +. A + п = 2 1 + а п ⋅ п.

Ако се разбере как е получена тази формула, а след това не забравяйте, че ще бъде много по-лесно.

Първият и последният елемент на сумата на 1 + а п a_1 + a_n 1 + а п. Вторият и предпоследния - също една + A N a_1 + a_n 1 + а п. като 2 + един - 1 = 1 + г + един - г = 1 + на a_2 + a_ = a_1 + г + a_n-г = a_1 + a_n 2 + а п - 1 = 1 а + г + н а - г = 1 + а п. По същия начин, третата Терминът прогресията и трета от развитието на крайния потребител получава 1 + а п + a_1 a_n 1 + а п и т.н.
Има два случая:
1) Ако в прогресията на четен брой членове, те са разделени по двойки (а к а п -. K) (a_k, a_) (а к а п -. K). к = 1. 2 п к = 1. \ Frac к = 1. 2 п. където сумата от членовете на всяка двойка е 1 + а п a_1 + a_n 1 + а п. Тъй като всички двойки N 2 \ Frac 2 п. след това сумата от всички прогресията на номера равна (1 + а п) ⋅ п 2 (a_1 + a_n) \ cdot \ Frac (1 + а п) ⋅ 2 п.
2) Ако развитието на нечетен брой членове, всички, но един (централни) члена, разделени по двойки (а к е -. K) (a_k, a_) (а к а п -. K) , к = 1. п - 1 февруари к = 1. \ Frac к = 1. 2 N - 1. с размер, равен на 1 + а п a_1 + a_n 1 + а п. Общо превръща п - 1, 2 \ 2 Frac п - 1, такива двойки. Централен елемент (членски номер N + 1 2 \ Фрак 2 п + 1) е равен на 1 + 2 за \ Фрак 2 а 1 + а п (средната стойност на първата и последният член на прогресия). След това сумата на аритметична прогресия е 1 + 2 +. A + п = (1 + а п) ⋅ п - 1 + 1 + 2 с п = 2 (1 + а п) ⋅ п 2 a_1 + a_2 +. + A_n = (a_1 + a_n) \ cdot \ Frac + \ Frac = (a_1 + a_n) \ cdot \ Frac 1 + 2 +. A + п = (1 + а п) ⋅ 2 п - 1 + 1 + 2 с п = ( 1 + а п) ⋅ 2 п.

По този начин, знаейки само първите и последните членове на прогресията, ние може да се окаже подходящо да се използва формулата:

S п = (1 + а п) ⋅ п 2. S_n = (a_1 + a_n) \ cdot \ Frac. S п = (1 + а п) ⋅ 2 п.

Какво става, ако знаем само първия срок прогресията и разликата от прогресия? След това може да експресира п a_n на п чрез един a_1 1 и г г г и заместен във формулата за сумата от:
S п = (1 + е) ⋅ 2 = (1 + 1 + (п - 1) г) ⋅ 2 = Na 1 2 + г ⋅ п (п - 1) 2. S_n = (a_1 + a_n) \ cdot \ Frac = (a_1 + a_1 + (п-1) г) \ cdot \ Frac = \ Frac + г \ cdot \ Frac. S п = (1 + а п) ⋅ 2 п = (1 + 1 + (п - 1) г) ⋅ 2 п = 2 Na + 1 г ⋅ 2 п (п - 1).

Важен специален случай на сума аритметична прогресия е формула за сума от първите п п п положителни числа: 1 + 2 +. + N = N (п + 1) 2 + 1 2 +. + N = \ Frac + 2 + 1. + N = 2 п (п + 1).

Карл Фридрих Гаус, който по-късно се превръща в голям математик, независимо получен тази формула в класната стая в училище аритметика. Желаещи да пазят децата зает в продължение на дълъг период от време, учителят ги помолил да брои сумата на числата 1 1 1 1 0 0 100 1 0 0 Young Гаус забелязах, че сумата на двойки от двата противоположни края на същото: 1 + 1 = 1 0 0 0 1 1 + 100 = 101 1 + 1 0 0 = 1 0 1. 2 + 9 9 = 1 0 1 2 + 99 = 101 2 + 9 9 = 1 0 1 и т.н. и веднага получи 5 0 ⋅ = 1 0 1 5 0 5 0 50 \ cdot 101 = 5050 ⋅ 0 5 1 0 1 5 0 5 = 0 резултата.

Имайте предвид, че Гаус се използва при изчислението, е един и същ метод, който използвахме в доказателството за формулата за сумата от аритметична прогресия.

При решаването на проблема, се използва следната формула за сумата от първите п п п условията на аритметична прогресия:

Петров, студент трябва да реши 4 юни 0640 6 4 0 задачи, за да се подготви добре за изпита. Петров е типът на хора, които правят всичко в последния момент, така че тревогата му се увеличава, когато датата на изпита. Нарастваща тревога го кара да се реши всеки ден в продължение на определен брой задачи е по-голям, отколкото бе решил, че предишния ден. Ние знаем, че той е решил на първия ден само 1 0 10 1 0 задачи, но все още има време да се подготвите за изпита.

Определяне на броя на задачите Петров реши на четвъртия ден, когато всички приготовления взеха 16 дни.

Разбира се, способността за концентрация Петрова в решаващия момент стачки! Хубаво е, че броят на задачите, които той решава, ставаше все по аритметика. а не експоненциално.

заключение

Тук е още една формула, която да ви позволи да реши почти всеки проблем в аритметична прогресия:

К = 1 + (к - 1) г; a_k = a_1 + (к-1) г; К = 1 + (к - 1) г; г = а п - а к п - к; г = \ Frac; г = N - к а п - К; S п = 1 + 2 +. N + а = (1 + а п) ⋅ п 2 2 = 1 + (п - 1) г 2. S_n = a_1 + a_2 +. + A_n = (a_1 + a_n) \ cdot \ Frac = \ Frac. S п = 1 + 2 +. N = а + (1 + а п) ⋅ 2 п = 2 1 2 + (п - 1) г.