Cauchy проблем за решаване на диференциални уравнения

разтвори на диференциално уравнение у '= F (х, у) зависят от константи U, следователно са много решения на това уравнение. Бих искал да изясни условията на F функция (х, у), в която може да се избере конкретен разтвор на това уравнение, което отговаря на предварително определени изисквания. За първи ред изисквания уравнението са както следва.

Намерете решението на диференциално уравнение:
Y '= F (х, у) (1)
който отговаря на условията
у (x0) = Y0. (2)
Тези условия се наричат ​​условията Cauchy. и на проблема с разпределението на разтвора задоволяване на Коши - проблемът Коши.

За решаване на първоначалната експресия трябва да се намали до формата: а1 (х) Y '+ a0 (х) у = б (х). Например, за Y'-ехр (х) = 2 * у ще Y'-2 * у = ехр (х).

Определение. Ние казваме, че F функция (х, у) отговаря Lipschitz у в D, ако за всеки две точки (X, Y1), (х, y2) от тази област, неравенството:
| F (х, Y1) - е (х, Y 2) | ≤ L | Y1 - y2 |, (3)
където L- е константа, която не зависи от х.

Теорема. (Наличие и уникалност). Да предположим, че в уравнение (1) Y '= F (х, у) функция F (х, у), дефинирано в област D на самолета, непрекъснато в х и Lipschitz (3) за у. Тогава там е интервал за всяка точка (x0 - # 955;, x0 + # 955) и функция у = # 966; (х), определена на интервал, така че у = # 966; (х) е решение, което отговаря на условието (2). Това решение е уникален с това, че ако Y = # 966; (х) е разтворът на уравнение (1) се определя на интервала (# 945;, # 946), който включва точка x0. и отговаря на условието (2), функцията # 966; (х) и е (х) са същите, когато те са както е определено.